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大联考·2024-2025学年（上）安徽高三8月份联考数学试卷答案

1．过点（0，1）作曲线L：y=lnx的切线，切点为A．又L与x轴交于B点，区城D由L、x轴与直线AB围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

分析由已知条件分别求出|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{GD}$|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，PG=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，由此能求出$\overrightarrow{PG}$与底面ABCD的夹角的正弦值．

解答解：∵在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD=AB=1，$\overrightarrow{BG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$，
∴|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{GD}$|=$\frac{2}{3}|\overrightarrow{BD}|$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
PG=$\sqrt{G{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{8}{9}+1}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，
设$\overrightarrow{PG}$与底面ABCD的夹角为θ，
则sinθ=sin∠PGD=$\frac{1}{\frac{\sqrt{17}}{3}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$．
∴$\overrightarrow{PG}$与底面ABCD的夹角的正弦值为$\frac{3\sqrt{17}}{17}$．
故选：B．

点评本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．