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2025届广西名校高三9月联合调研考试数学试卷答案

13.(11分)如图1所示,光滑水平轨道AB的B端与竖直面内光滑半圆形轨道BCD相切,轻质弹簧一端固定在A点,另一端与质量为0.2kg物块P接触但不拴接。用水平外力向左缓慢推动小物块P,水平外力随弹簧形变量的关系如图2所示,当弹簧压缩量为8.0cm时撤去外力,物块P恰好能够到达D点,已知重力加速度大小为10m/s^2。,求:(1)弹簧的劲度系数;(2)撤去外力时,弹簧存储的弹性势能;(3)光滑半圆形轨道的半径。

分析求出向量的夹角θ，则$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$方向上的投影为|$\overrightarrow{AB}$|•cosθ．

解答解：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$=2×5+1×5=15，|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{CD}$|=5$\sqrt{2}$，
设$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}$夹角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CD|}}$=$\frac{15}{5\sqrt{10}}$，
∴$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$方向上的投影为|$\overrightarrow{AB}$|•cosθ=$\sqrt{5}×\frac{15}{5\sqrt{10}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故选B．

点评本题考查了平面向量的有关运算，属于基础题．