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炎德英才大联考 湖南师大附中2024-2025学年度高二第一学期入学考试数学试卷答案

15.(16分)如图所示,一轻质弹簧右端固定在水平地面O处的挡板上,将一质量m=1kg的小物块靠在弹簧左端D处(小物块与弹簧不拴接),此时弹簧处于原长,OD段光滑,DC段粗糙.水平地面C处与倾斜传送带下端平滑连接,传送带上端B处与一光滑半圆轨道AB最低点相切,半圆轨道固定在竖直平面内,半径R=2m..现将小物块向右压缩弹簧一定距离后由静止释放,小物块在传送带上一直做加速运动进人半圆轨道后并从A点飞出,恰好落在C点.已知D、C间距x0=5m,,传送带B,C两端间距L=9m,,与水平地面间的夹角=37^,,传送带由电动机带动以v=19m/s的恒定速度逆时针转动,小物块与传送带间的动摩擦因数1=127144,,与DC段间的动摩擦因数2=0.2,,重力加速度取g=10m/s^2,,小物块可视为质点,不计空气阻力,37^=0.6,37^=0.8,不考虑小物块再次滑上传送带的情况.求:(1)小物体运动到A点时轨道对物体支持力的大小FN;(2)小物体在传送带上运动的过程中,因摩擦而产生的热量大小Q:(3)小物体释放前,弹簧具有的弹性势能大小Ep以及带动传送带的电动机由于运送小物块多输出的电能△E.

分析（1）利用PF₂⊥F₁F₂，且|PF₁|=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，|PF₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，c，可得a²-c²=1，即可求椭圆C的方程；
（2）设直线L的方程为y=x+b，与椭圆方程联立消元得3x²+4bx+2b²-2=0；再由韦达定理及两点间的距离公式求|AB|的长度，再求点O到直线AB的距离，从而写出△AOB的面积S，利用基本不等式求最值及最值点．从而得到直线l的方程．

解答解：（1）∵PF₂⊥F₁F₂，且|PF₁|=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，|PF₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$，2c=$\sqrt{\frac{18}{4}-\frac{2}{4}}$=2，
∴a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴a²-c²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）设直线L的方程为y=x+b，
则与$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1联立消y可得3x²+4bx+2b²-2=0，
△=（4b）²-4×3×（2b²-2）＞0，
解得-$\sqrt{3}$＜b＜$\sqrt{3}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由韦达定理可得，x₁+x₂=-$\frac{4b}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{b}^{2}-2}{3}$；
故|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}•\sqrt{（-\frac{4b}{3}）^{2}-4×\frac{2{b}^{2}-2}{3}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{12-4{b}^{2}}$；
点O到直线AB的距离d=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$
故△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$$\sqrt{12-4{b}^{2}}$×$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{（3-{b}^{2}）{b}^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{3}•\frac{3-{b}^{2}+{b}^{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（当且仅当3-b²=b²，即b=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，等号成立）；
故此时直线L的方程为：y=x±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评本题考查了圆锥曲线的求法及直线与圆锥曲线的交点及形成的图象的面积问题，属于中档题．