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2025高考名校导航金卷(二)2数学试卷答案

3．已知函数$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}，（x∈R）$．
（Ⅰ）判定函数f（x）在区间[-1，1]上的单调性，并用定义法加以证明；
（Ⅱ）对于任意n个实数a₁，a₂，…，a_n（可以相等），求满足|f（a₁）|+|f（a₂）|+…+|f（a_n）|≥50成立的正整数n的最小值；
（Ⅲ）设函数${g_n}（x）=f（x）-f{（{n^2}）_{\;}}（n∈{N^*}）$在区间[0，1]上的零点为x=x_n，试探究是否存在正整数n，使得x₁+x₂+…+x_n≥2？若存在，求正整数n的最小值；若不存在，请说明理由．

分析根据常见函数的性质判断出函数的单调性，从而得到答案．

解答解：对于A：y=-3x+1在R上递减，
对于B：y=$\frac{2}{x}$在（0，+∞）递减，
对于C：y=x²-4x+5，对称轴x=2，
函数在（2，+∞）递增，
对于D：x＞1时：y=x+1，
函数在（1，+∞）递增；
故选：D．

点评本题考查了常见函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．